Chuyên đề học tập Toán 11 - Bài 4: Phép Quay Và Phép Đối Xứng Tâm | Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

THUẬT NGỮ

• Phép quay
• Góc quay, tâm quay,
• Phép đối xứng tâm
• Tâm đối xứng

KIẾN THỨC, KĨ NĂNG

• Nhận biết khái niệm phép quay, phép đối xứng tâm và các tính chất của phép quay, phép đối xứng tâm.
• Xác định ảnh của điểm, đoạn thẳng, tam giác, đường tròn qua phép quay, phép đối xứng tâm.
• Vận dụng phép quay, phép đối xứng tâm trong đồ hoạ và trong một số vấn đề thực tiễn.

Mặt bàn tròn nơi đặt đồ ăn (hình tròn nhỏ) có thể quay quanh tâm của nó. 

Cho điểm O và góc lượng giác α. Phép biến hình biến điểm O thành điểm O và biến mỗi điểm M khác O thành điểm M sao cho OM' = OM và các góc lượng giác (OM, OM') = α gọi là phép quay tâm O, góc quay α, kí hiệu Q_(O,α). Điểm O gọi là tâm quay, α gọi là góc quay của phép quay đó.

Chú ý

• Chiều dương, chiều âm của đường tròn lượng giác được quy ước tương ứng là ngược chiều, cùng chiều quay của kim đồng hồ (H.1.20b).
• Hai phép quay có cùng tâm và có hai góc quay sai khác nhau bội của 2π (hay 360°) thì trùng nhau.

Giải

Vì OA= OB và góc quay nên phép quay biến điểm A thành điểm В.

Vì OA=OD và góc quay  nên phép quay điểm A thành điểm D.

Tương tự, phép quay biến điểm A thành điểm C, phép quay biến điểm A thành điểm D.

>Luyện tập 1. Trong Hình 1.22, tam giác ABC đều.

Hãy chỉ ra ảnh của điểm B qua phép quay Q_{(A, 60°)}

Gọi D là ảnh của C qua phép quay Q_{(A, 60°)}

Hỏi B và D có mối quan hệ gì đối với đường thẳng AC?

>HĐ 2. Khi mặt bàn ăn quay, mặc dù các đĩa thức ăn trên bàn đều dịch chuyễn tới vị trí mới nhưng khoảng cách giữa hai đĩa thức ăn có bị thay đổi hay không?

Phép đối xứng trục biến:

• Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó;
• Tam giác thành tam giác bằng nó;
• Đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính và có tâm là ảnh của tâm;
• Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó;
• Tia thành tia;
• Góc thành góc bằng nó;
• Đường thẳng thành đường thẳng.

>Ví dụ 2. Trong Hình 1.25, ABClà tam giác đều, có tâm O. Tìm ảnh của đoạn thẳng AB và ảnh của tam giác ABC qua phép quay Q_(0,120°)

Giải

Phép quay  Q_(0,120°), biến A thành B, biến B thành C, biến C thành A.  Do đó, phép quay  Q_(0,120°) biến đoạn thẳng AB thành đoạn thẳng BC và biến tam giác ABC thành chính nó.

>HĐ2. Trong Hình 1.27, hãy chỉ ra ảnh của các điểm A, B, С, M, N, P qua phép quay tâm O, góc quay π.

Nhận xét

• Phép đối xứng tâm O chính là phép quay tâm O, góc quay, do đó, nó có đầy đủ các tính chất của phép quay.
• Nếu M' là ảnh của M qua Đ_O, thì M cũng là ảnh của M' qua Đ_O. Do đó, nếu hình là ảnh của hình qua Đ_O thì 0 cũng là ảnh của qua Đ_O' và ta nói và đối xứng với nhau qua O (H.1.29a).

• Đ_O biến đường thằng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
• Hình nhận điểm O là tâm đối xứng khi và chỉ khi Đ_O biến thành chính nó (H.1.29b). 

>Vận dụng 2. Quan sát Hình 1.30, những phát biều nào trong các phát biều sau là đúng?

a) Hình vẽ nhận điểm O (được tô đỏ) làm tâm đối xứng.

b) Một đường thằng bất kì đi qua điềm O sẽ chia hình vẽ thành hai nửa A và B giống nhau. Nếu thực hiện phép quay tâm O, góc quay 180° thì nửa A biến thành nửa B, tức là, B là ảnh của A qua một phép đối xứng tâm O.

c) Có thể chia hình vẽ thành bốn phần giống nhau.