SGKVN

Chuyên đề học tập Toán 11 - Bài 3: Phép Đối Xứng Trục | Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

Bài 3: Phép Đối Xứng Trục - Chuyên đề học tập Toán 11. Xem chi tiết nội dung bài Bài 3: Phép Đối Xứng Trục và tải xuống miễn phí trọn bộ file PDF Sách Chuyên đề học tập Toán 11 | Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

(Trang 12)

THUẬT NGỮ

Phép đối xứng trục
Trục đối xứng

KIẾN THỨC, KĨ NĂNG

Nhận biết khái niệm phép đối xứng trục và các tính chất của phép đối xứng trục.
Xác định ảnh của điểm, đoạn thẳng, tam giác, đường tròn qua phép đối xứng trục.
Vận dụng phép đối xứng trục trong đồ hoạ và trong một số vấn đề thực tiễn.

Trong tự nhiên, cuộc sống, Toán học, Kiến trúc và Hội hoạ, ta bắt gặp nhiều hình ảnh cân đối. Sự cân đối có thể mang lại vẻ đẹp, làm nên sự vững chắc và nhiều điều ý nghĩa khác, có lớp ý nghĩa biến nhận ra các hình ảnh hai chiều có trục đối xứng. Bài học này cho phép ta diễn đạt chính xác và rõ ràng hơn về chúng.

Nhà Rông Tây Nguyên

(Ảnh: dantocmiennui.vn)

1. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC

> HĐ1. Cầu Ponte Sisto in hình dưới dòng sông Tiber, tạo nên một hình ảnh có tính đối xứng trục.

a) Hãy chỉ ra trục đối xứng của hình ảnh đó.

b) Có thể đếm được bao nhiêu hình bóng điện dưới dòng sông? Mỗi hình đó là ảnh của hình bóng điện của bóng điện nào trên cầu?

Cầu Ponte Sisto & Thủ đô Rome của nước Ý

Cho đường thẳng d. Phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó và biến mỗi điểm M không thuộc d thành điểm M' sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM' được gọi là phép đối xứng trục d, kí hiệu Đ_d.

(Trang 13)

Chú ý

Nếu M' là ảnh của M qua Đ_dthì M cũng là ảnh của M' qua Đ_d. Do đó, nếu hình 7đ' là ảnh của hình

qua Đ_d thì

cũng là ảnh của

qua Đ_d, và ta nói

và

đổi xứng với nhau qua d (H.1.13а).

Hình

nhận đường thẳng d là trục đối xứng khi và chỉ khi Đ_d biến

thành chính nó (H.1.13Ь).

Hình 1.13

>Ví dụ 1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tim toạ độ ảnh của các điểm M(3; 4), N(-1;2), qua phép đối xứng trục

Giải

Toạ độ của điểm M(3; 4) thoả mãn phương trình đường thẳng . Do đó, M(3; 4) thuộc A và có ảnh qua phép đối xứng trục chính là M(3; 4).

Điểm N (-1; 2) không thuộc A. Gọi N' là ảnh của N qua phép đối xứng trục (H.1.14). Do là đường trung trực của đoạn thằng NN' nên trung điềm của đoạn thẳng NN' thuộc và đường thẳng NN' vuông góc với .

Đường thằng NN' đi qua N (-1; 2) và nhận vectơ pháp tuyến của làm vecto chỉ phương.

Do đó

Giả sử toạ độ của N' là (–1+t; 2+3t).

Đoạn thẳng NN có trung điểm thuộc nên

Suy ra N'(1; 8).

Vậy điểm N(-1; 2) có ành qua phép đối xứng trục là N'(1; 8).

>Luyện tập 1. Xét mặt phằng toạ độ Oxy (H. 1.15). Trong các khẳng định sau, chọn các khẳng định đúng.

a) Phép đối xứng trục Ox biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm có toạ độ (x;- у).

b) Phép đối xứng trục Oy biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm có toạ độ (-x; у).

c) Phép đối xứng trục Ox biến A(1; 2) thành điềm A'(-1; -2).

(Trang 14)

2. TÍNH CHẤT

>HĐ 2. Cho phép đối xứng trục ở biển M thành M', N thành N'.

Xét hệ trục toạ độ Oxy sao cho trục Oy trùng với d (H.1.16a). Giả sử M có toạ độ là (x₁; y₁), N có toạ độ là (x₂; y₂).

a) Hãy cho biết toạ độ của M', N'.

b) Tính MN², M'N'² theo toạ độ của các điểm tương ứng.

c) So sánh độ dài các đoạn thẳng MN, M'N'.

Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm.

Từ tính chất trên, ta có thể rút ra:

Phép đối xứng trục biến:

Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó;
Tam giác thành tam giác bằng nó;
Đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính và có tâm là ảnh của tâm;
Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó;
Tia thành tia;
Góc thành góc bằng nó;
Đường thẳng thành đường thẳng.

>Ví dụ 2. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tròn

(C): x²+ y²- 6x - 10y - 2=0.

Viết phương trình đường tròn (C') là ảnh của (C) qua phép đối xứng trục

Giải

Ta có (C): (x - 3)²+(y - 5)² = 6², nên (C) có tâm A(3; 5) và bán kính R = 6. Đường tròn ảnh (C') có bán kính R'= R = 6 và có tâm A' đối xứng với A qua A. Tương tự Vi dụ 1, ta tính được toạ độ của A' là (- 1; -3). Vậy (C) có phương trình là (x + 1)²+ (y + 3)² = 6².

>Luyện tập 2. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng d: 3x - y - 1= 0. Viết phương trình đường thắng d' là ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng trục Ox.

(Trang 15)

>Ví dụ 3. Cho đường thẳng và hai điểm , B không thuộc đường thẳng đó. Tìm điểm M thuộc đề MA + MB nhỏ nhất.

Giải

Trường hợp 1. A và B thuộc hai nửa mặt phẳng bờ (H.1.18a). Khi đó đoạn thẳng AB và đường thẳng giao nhau tại một điểm.

Ta có MA+ MB ≥ AB, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M thuộc đoạn thẳng AB. Mặt khác M thuộc , do đó, MA + MB nhỏ nhất bằng AB, khi M là giao điềm của và đoạn thẳng AB.

Trường hợp 2. A và B thuộc cùng nửa mặt phẳng bờ (H.1.18b). Gọi A' là điềm đối xứng với A qua . Khi đó A' và B thuộc hai nửa mặt phằng bờ và MA+ MB = MA'+ MB. Mặt khác, theo trường hợp 1, ta có MA'+ MB nhỏ nhất bằng A'B, khi M là giao điểm của và đoạn thẳng A'B. Do đó, MA + MB nhỏ nhất bằng A'B, khi M là giao điểm của và đoạn thắng A'B.

>Luyện tập 3. Cho đường thẳng và hai điểm A, B, sao cho không phải là đường trung trực của đoạn thằng AB. Điềm M thay đồi trên (M không thuộc đường thẳng AB). Gọi M’ là điểm sao cho A, B, M, M' là 4 đỉnh của một hình thang cân nhận AB là một cạnh đáy. Chứng minh rằng M' thay đổi trên một đường thằng cố định.

>Vận dụng. Bằng quan sát, hãy cho biết, trong hai hình ảnh bên, hình nào có trục đối xứng.

BÀI TẬP

1.6. Cho hai điểm phân biệt A và B. Xác định phép đối xứng trục biến điểm A thành điểm B.

1.7. Cho hai đường tròn không đồng tâm, nhưng có cùng bán kính (O₁; R) và (O₂; R). Xác định phép đối xứng trục biến (O₁; R) thành (O₂; R).

1.8. Cho đường thẳng d và hai điểm phân biệt A, B sao cho đường thẳng AB không vuông góc với d. Gọi M, N tương ứng là các điểm đối xứng với A, B qua d. Hỏi A, B, M, N có là 4 đỉnh của một hình thang cân hay không?

1.9. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho . Viết phương trình đường thẳng ở đối xứng với qua trục Ox.